Question

【题目】如图，在中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且．

求证： ∽；

求证： ；

若M、N分别是BE、CD的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析

【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到∠DOB=∠A，由于∠ABE=∠ABE，于是得到结论；
（2）延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，根据等腰三角形的性质得到∠BDF=∠BFD，根据三角形的外角的性质得到∠BDF=∠BEC，于是得到∠BFD=∠BEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）取BC的中点G，连接GM，GN，根据三角形中位线的性质得到GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，根据平行线的性质得到∠2=∠4，∠3=∠1，等量代换得到∠1=∠2，于是得到AP=AQ．

试题解析： 证明： ，

，

，

，

，

∽；

解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使，

，

，

由得，

，

，

在与中， ，

≌，

，

；

解： ，

理由：取BC的中点G，连接，

分别是的中点，

是中位线，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．