Question

【题目】定义：如点M、N把线段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）如图2，已知点C、D是线段AB的勾股分割点，若AC=3，DB=4，求CD的长；

（2）如图3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的两边AM、AN分别交BD于E、F（不与端点重合），求证：E、F是BD的勾股分割点．

Answer 1

【答案】（1）5或．（2）证明过程见解析．

【解析】

（1）①当CD为最大线段时，由勾股定理求出CD的长；②当BD为最大线段时，由勾股定理求出CD即可；

（2）将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ADH，连接HE，只要证明△EAH≌△EAF，推出EF=HE，再证明∠HDE=90°即可．

（1）解：①当CD为最大线段时，

∵点C、D是线段AB的勾股分割点

∴CD===5

②当BD为最大线段时，

∵点C、D是线段AB的勾股分割点

∴CD===

综上，CD的长为5或．

（2）证明：如图，将△ABF绕点A顺时针旋转90°得到△ADH，连接HE

∵∠BAF+∠DAE=90°-∠MAN=90°-45°=45°，∠BAF=∠DAH

∴∠DAH+∠DAE=45°

即∠EAH=45°

在△EAH和△EAF中

∴△EAH≌△EAF（SAS）

∴EH=EF

∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线

∴∠ABF=∠ADB=45°

∴∠ADH=∠ABF=∠ADB =45°

∴∠HDE=90°

在Rt△DHE中，HE2=DH2+DE2

∵DH=BF，EF=HE

∴EF2=BF2+DE2

∴E、F是BD的勾股分割点．