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【题目】如图1,抛物线轴相交于两点(点在点的右侧),与轴相交于点,对称轴与轴相交于点,与相交于点

1)点是线段上方抛物线上一点,过点交抛物线的对称轴于点,当面积最大时,点轴上(点在点的上方),,点在直线上,求的最小值.

2)点中点,轴于,连接,将沿翻折得△,如图所示,再将△沿直线平移,记平移中的△为△,在平移过程中,直线轴交于点,则是否存在这样的点,使得△为等腰三角形?若存在,求出点坐标.

【答案】1的最小值为;(2)点的坐标为

【解析】

1)由抛物线解析式可求A(60)C(0),对称轴x=2,过P点作PT′QT,由PQAC可知,四边形QTT′P是平行四边形,QT=PT’,因为HT为定值,所以PT′最大时,△AQH面积最大,由此构建二次函数,求出点P坐标,过点GGEx轴于E,作x轴关于直线AC的对称直线lE的对称点为E′,将PM沿y轴向下平移个单位至P′N,作点P′关于y轴的对称点P″,过P″P″SlS,则有PM+NG+GA=P″N+NG+GE′≥P″S,求出P″S即可;
2)先求得点EFF′H′R的坐标,根据△RF'H'为等腰三角形,分三种情况分别求解即可.

1)如图1,抛物线轴相交于两点(点在点的右侧),

直线的解析式为:

点作,交

四边形是平行四边形,

面积最大时,最大,即最大,

时,面积最大,

此时点坐标为

过点轴于,作轴关于直线的对称直线的对称点为,将沿轴向下平移个单位至,作点关于轴的对称点,过,则有

关于轴对称

,直线轴关于直线对称

设直线的解析式为,则

,将代入得:,解得:

直线的解析式为

过点轴交,则

的最小值

2

抛物线对称轴为直线

由(1)知:

中点,轴于

沿直线平移,各个点横纵坐标变化为,设△沿直线平移后的△各顶点坐标分别为

则直线解析式为,令,则

为等腰三角形,

①当时,则,解得:

此时,

②当时,则,解得:

不符合题意,与①重复

③当时,,解得:,与①重复

综上所述,点的坐标为

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