【题目】已知关于x的一元二次方程(m+1)x2﹣(m+3)x+2=0.
(1)证明:当m≠﹣1时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
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【题目】阅读下面材料:小科遇到这样一个问题:如图1,△ABC是等边三角形,点P是三角形内部一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
小科是这样思考的:如图2,将AP绕着点A逆时针旋转60°得到AP′,连接P′C,P′P,可以根据边角边证明△APB≌△AP′C,进而通过判定得到两个特殊的三角形,解决问题.
(1)小科遇到的问题中,∠APB的度数是 ;(请直接写出答案)
参考小科同学的思路,解决下列问题:
(2)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=2,PB=2,PD=2,
①求∠APB的度数;②求正方形的边长
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【题目】我们定义:两个二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如:y=2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y=﹣x2﹣2x﹣5.
(1)请你写出y=x2+x﹣5的友好同轴二次函数;
(2)如图,二次函数L1:y=ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A,点B、C分别在L1、L2上,点B,C的横坐标均为m(0<m<2)它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′,C′,连接BB′,B′C′,C′C,CB.若a=3,且四边形BB′C′C为正方形,求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点(点A在原点左侧,点B在原点右侧),与y轴交于点C,已知OA=1,OC=OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D(2,m)在该抛物线上,连接CD,DB,求四边形OCDB 的面积;
(3)设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点E作EH⊥x轴于点H,再过点F作FG⊥x轴于点G,得到矩形EFGH.在点E运动的过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长.
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【题目】正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=FM
(2)当AE=1时,求EF的长.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的中线,AE∥BC,射线BE交AD于点F,交⊙O于点G,点F是BE的中点,连接CE.
(1)求证:四边形ADCE为平行四边形;
(2)若BC=2AB,求证: .
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【题目】ABCD中,E是CD边上一点,
(1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,使AD、AB重合,得到△ABF,如图1所示.观察可知:与DE相等的线段是 ,∠AFB=∠
(2)如图2,正方形ABCD中,P、Q分别是BC、CD边上的点,且∠PAQ=45°,试通过旋转的方式说明:DQ+BP=PQ;
(3)在(2)题中,连接BD分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2吗?
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【题目】如图1,抛物线与轴相交于、两点(点在点的右侧),与轴相交于点,对称轴与轴相交于点,与相交于点.
(1)点是线段上方抛物线上一点,过点作交抛物线的对称轴于点,当面积最大时,点、在轴上(点在点的上方),,点在直线上,求的最小值.
(2)点为中点,轴于,连接,将沿翻折得△,如图所示,再将△沿直线平移,记平移中的△为△,在平移过程中,直线与轴交于点,则是否存在这样的点,使得△为等腰三角形?若存在,求出点坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°.将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C,且点B在A′B′ 上,CA′ 交AB于点D,则∠BDC的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
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