Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若D（2，m）在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB 的面积；

（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH.在点E运动的过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4.；（2）16；（3）正方形的边长为或.

【解析】

（1）先求出点C的坐标，则B的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求出D的坐标，作DM⊥x轴于点E．则S四边形OCDB=S梯形OCDM+S△BMD，利用C、D的坐标即可求出四边形OCDB的面积；
（3）分两种情况考虑，当点E在x轴上方和下方，根据E和F关于对称轴对称，然后利用正方形的性质即可列方程求解．

解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，得y＝4，则点C的坐标是（0，4）.

∵OC＝OB，

∴B的坐标是（4，0）．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4.

（2）∴点D（2，m）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，

∴﹣4+6+4＝m，解得m＝6.所以D（2，6）.

作DM⊥x轴于点M，如图①所示．

则S四边形OCDB＝S梯形OCDM+S△BMD＝×（4+6）×2+×2×6＝10+6＝16．

（3）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，

∴抛物线的对称轴是x＝﹣.

如图②，设点E的坐标为（x，-x2+3x+4），则点F的坐标为（3-x，-x2+3x+4），EF= x-（3-x）=2x-3.

∵四边形EFGH是正方形，

∴EF=EH.

当E在x轴上方时，2x-3=-x2+3x+4，解得x1=，x2=（舍去）

∴EF=；当E在x轴下方时，2x-3=-（-x2+3x+4），解得x1=，x2=（舍去）.

∴EF=.所以正方形的边长为或.