Question

【题目】如图，平面直角坐标系中两条直线OC⊥BC，垂足为C，其OC＝2cm，∠COB＝60°，反比例函数y＝的图象过点C.

(1)求：反比例函数表达式和点B的坐标.

(2)若现有长为1cm的线段MN在线段OB上沿OB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点O重合，N到点B停止运动)，过M、N作OB的垂线分别交直线OC、BC于P、Q两点，线段MN运动的时间为ts.

①若△OMP的面积为S.求出当0＜t≤1时，S与t的函数关系式.

②线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若可能，直接写出此时t的值；若不可能，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)y＝，B(4，0)；(2)①S=t2；②可能，t＝.

【解析】

(1)过点C作CD⊥OB于点D，在Rt△ODC中运用三角函数可求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入y＝，就可得到反比例函数表达式，然后在Rt△OCB中运用三角函数就可求出点B的坐标；

(2)由题可得：OM＝t，MN＝1，ON＝t+1.①只需用t的代数式表示出PM，就可解决问题；②分别表示出PM、QN的长(用t的代数式)，根据四边形MNQP为矩形时PM＝QN建立关于t的方程，解这个方程就可得到t的值.

解：(1)过点C作CD⊥OB于点D，如图1.

在Rt△ODC中，

∵OC＝2，∠COD＝60°，

∴CD＝OCsin∠COD＝2×＝，

OD＝OCcos∠COD＝2×＝1，

∴点C的坐标为(1，).

∵反比例函数y＝的图象过点C，

∴k＝1×＝，

∴反比例函数的解析式为y＝.

∵OC⊥BC，

∴cos∠COB＝，即＝，

∴OB＝4，

∴点B的坐标为(4，0)；

(2)由题可得：OM＝1×t＝t，MN＝1，ON＝t+1.

①当0＜t≤1时，

∵点C(1，2)，

∴点P在线段OC上，如图2.

在Rt△OMP中，

PM＝OMtan∠POM＝t，

∴S＝OMPM＝×t×t＝t2；

②t的值为.

解题思路：求出直线OC的解析式，为y＝x；

求出直线BC的解析式，为y＝﹣x+；

从而得到PM＝t，QN＝﹣(t+1)+ ；

若四边形MNQP是矩形，则有PM＝QN，如图3，

则t＝﹣ (t+1)+ ，

解得：t＝，

此时点M、点N都在线段OB上，符合条件.