Question

【题目】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D在BC边上（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）若BD＝n（0＜n＜2），求线段AE的长；（用含n的代数式表示）

（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝n2﹣n+2（0＜x＜2）；（3）AE＝4﹣2或

【解析】

（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；

（3）分三种情况进行讨论：

①当AD＝DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣x；

②当AE＝ED时，如图3，则ED＝EC，即y＝（2﹣y）；

③当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．

证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，

∴∠ABD＝∠ACB＝30°，

∴∠ABD＝∠ADE＝30°，

∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC＝∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如图1，

∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

过A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB＝90°，

∵AB＝2，∠ABF＝30°，

∴AF＝AB＝1，

∴BF＝，

∴BC＝2BF＝2

则DC＝2﹣n，EC＝2﹣AE，

∵△ABD∽△DCE，

解得：AE＝n2﹣n+2（0＜x＜2）；

（3）当AD＝DE时，如图2，

由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，

则AB＝CD，即2＝2﹣n，

n＝2﹣2，代入AE＝n2﹣n+2

解得：AE＝

当AE＝ED时，如图3，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，

∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，

则ED＝EC，即AE＝（2﹣AE），

解得：AE＝，

当AD＝AE时，

∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，

∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2或．