Question

【题目】已知：如图，直线y＝x﹣15与x轴、y轴分别相交于点A和点B．抛物线经过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）若这抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C．对称轴与x轴交于点H，求△DAC的面积；

（3）若点E是线段AD的中点．CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣15；（2）△DAC的面积为72；（3）△POH能够与△CHG相似，相似时点P的坐标为P1（0，6）或P2（0，）．

【解析】

（1）利用一次函数的解析式，求得A、B的坐标，再代入抛物线得出方程组，即可求出抛物线的解析式；

（2）分别求出点D、点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求得答案；

（3）根据题目的条知点G是△DAC的重心，首先求得的值，再根据相似三角形的性质得出两个比例式，代入即可求得点P的坐标.

（1）∵y＝x﹣15，

y＝0时，0＝x﹣15，

∴x＝15，

当x＝0时，y＝﹣15，

∴A（15，0），B（0，﹣15），

代入得，

解得，

∴抛物线的解析式：．

（2）抛物线的解析式可变形为，

∴顶点D坐标为（9，12），

设y＝0，则，

∴（x﹣9）2＝36．

∴x1＝3，x2＝15，

∴点C的坐标为（3，0），

∴．

（3）∵点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点，．

∴点G是△DAC的重心．如图：

∵顶点D坐标为（9，12），

∴，

∴HO＝9，CH＝6．

设△POH∽△GHC时，

，

∴

∴PO＝6，

∴P1（0，6）；

△POH∽△CHG时，，

，

∴．

∴．

∴△POH能够与△CHG相似，相似时点P的坐标为P1（0，6）或．