Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=30，BC=40，点P是边AB上的一点，且CP²=AP•BP，则CP=24或25．

Answer 1

分析 首先设AP=x，然后表示出BP=5-x，利用已知的等积式得到CP²=x（50-x），然后在△ACP中，根据余弦定理得到CP²=AC²+AP²-2AC•APcosA=900+x²-60x×0.6，从而得到有关x的方程9+x²-6x•0.6=x（5-x），解之即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=30，BC=40，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=50，
设AP=x，则BP=50-x，CP²=x（50-x），
在△ACP中，根据余弦定理有
CP²=AC²+AP²-2AC•APcosA=900+x²-60x×0.6，
则有900+x²-60x•0.6=x（50-x），
整理，得x²-43x+45=0
解得：x=25或x=18
∴CP=25或CP=$\sqrt{AP•PB}$=$\sqrt{18×32}$=24，
故答案为24或25．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，初中教材中已经将余弦定理的内容删掉，解题时可以借助网络等渠道了解余弦定理．