Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AC的垂直平分线交于点O，将∠B沿EF（E在BC上，F在AB上）折叠，点B与点O恰好重合，则∠OEB为（　　）度．

• A． 108
• B． 120
• C． 126
• D． 128

Answer 1

分析 连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠CAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC和∠ACB，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OC，根据等边对等角可得∠CAO=∠CAO，再求出∠OCE，然后判断出OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=BE，然后根据等边对等角求出∠BOE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答 解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=64°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠CAO=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×64°=32°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-64°）=58°，
∵DO是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO=32°，
∴∠OCE=∠ACB-∠ACO=58°-32°=26°，
在△AOB和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAO=∠CAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=26°，
∵将∠B沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点B与点O恰好重合，
∴OE=BE，
∴∠BOE=∠OBE=26°，
在△OBE中，∠OEB=180°-∠BOE-∠OBE=180°-26°-26°=128°．
故选：D．

点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．