Question

11．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{DH}{DE}$，即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH²=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与?ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n-1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

Answer 1

分析 （1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH²=AD×DC，据此判断即可．
（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．
（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S_△CEF=S_△ADF，S_△CDI=S_△AEI，所以S_△BCE=S_{四边形ABCD}，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．

解答 解：（1）如图①，连接AH，EH，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{DH}{DE}$，
即DH²=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH²=AD×DC，
即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）作法：
①过A、D作AN、DM分别垂直BC于N、M；
②延长AD，取DE=DM；
③以AE为直径作半圆O；
④延长MD交半圆O于H；
⑤以H、D作正方形HDFG，则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形．
证明：
∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，
∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴$\frac{AD}{DH}=\frac{DH}{DE}$，
即DH²=AD×DE．
又∵DE=DM，
∴DH²=AD×DM，
即正方形DFGH与矩形ABMN等积，
∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．

（3）作法：
①过A点作AD垂直BC于D；
②作AD的垂直平分线，取AD中点E；
③过E作BC平行线，作长方形BCGF，则S_矩形BCGF=S_△ABC；
其他步骤同（2）可作出其等积正方形．


（4）作法：
①过A点作BD平行线l；
②延长CD交平行线与E点；
③连接BE，则S_{四边形ABCD}=S_△EBC，
同（3）可作出其等积正方形．

△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
∵BD∥l，
∴S_△ABD=S_△EBD，
∴S_△BCE=S_{四边形ABCD}，
即△EBC与四边形ABCD等积．
故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．