Question

2．等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 求出四边形AMPN是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得G是AP的中点，然后判断出点G的运动路线是△APP′的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出GG′，再根据等边三角形的性质求出△BGG′的底边GG′上的高，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∵MN与AP相交于点G，
∴G是AP的中点，
∴如图点G的运动路线是△APP′的中位线，
∵BC=6，BD=CE=1，
∴GG′=$\frac{6-1-1}{2}$=2，
∵BC=6，
∴△BGG′的底边GG′上的高=$\frac{1}{2}$×（6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴线段BG扫过的区域面积=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了点的轨迹，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于确定出点G的运动轨迹从而确定出BG扫过的区域是三角形．