Question

17．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），都有|y₁-y₂|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下面所表示的函数的界高为4．
（1）若函数y=kx+1（-2≤x≤1）的界高为4，求k的值；
（2）已知m＞-2，若函数y=x²（-2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y=x²-2ax+3a（-2≤x≤1）的界高为$\frac{25}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将x₁=-2代入得：y₁=-2k+1，将x₂=1代入得：y₂=k+1，然后根据|y₁-y₂|=4，得|-3k|=4，从而可求得k的值；
（2）将y=4代入抛物线的解析式得：x²=4，解得：x₁=-2，x₂=2，从而可求得m=2；
（3）当a≥1时，将x₁=-2，x₂=1代入函数解析式求得y₁，y₂，然后根据|y₁-y₂|=4，可求得a的值；当0≤a≤1时，将x₁=-2，x₂=a代入函数的解析式得到y₁
、y₂，然后根据|y₁-y₂|=4，可求得a的值．

解答 解：（1）将x₁=-2代入得；y₁=-2k+1，将x₂=1代入得：y₂=k+1，
∵|y₁-y₂|=4，
∴|-3k|=4．
解得：k=$±\frac{4}{3}$．
（2）将y=4代入抛物线的解析式得：x²=4，解得：x₁=-2，x₂=2，
∴m=2．
∴m的取值范围是0≤m≤2．
（3）当a≥1时，将x₁=-2，x₂=1代入函数解析式求得y₁=4+7a，y₂=1+a，
∵|y₁-y₂|=$\frac{25}{4}$，
∴3+6a=$\frac{25}{4}$，
解得：a=$\frac{13}{24}$
又∵a≥1
故此种情况不成立；
当0≤a≤1时，将x₁=-2，x₂=a代入函数解析式得：y₁=4+7a，y₂=3a-a²，
∵y₁-y₂=$\frac{25}{4}$，
∴a²+4a-$\frac{9}{4}$=0，
解得：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$-\frac{9}{2}$（舍去）
故a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是一次函数和二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的增减性以及界高的定义得到相应的方程是解题的关键．