Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A′恰好落在∠BCD的平分线上时，CA′的长为（　　）

• A． 3或4$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$
• C． 3或4
• D． 4或3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图，过点A₁作A₁M⊥BC于点M．设CM=A₁M=x，则BM=4-x．在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=25-（7-x）²．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A₁CM中，得到CA₁=$\sqrt{2}$A₁M．

解答 解：如图，过点A₁作A₁M⊥BC于点M．
∵点A的对应点A₁恰落在∠BCD的平分线上，
∴设CM=A₁M=x，则BM=7-x．
又由折叠的性质知AB=A₁B=5．
∴在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=25-（7-x）²．
∴25-（7-x）²=x²，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵在等腰Rt△A₁CM中，CA₁=$\sqrt{2}$A₁M．
∴CA₁=3$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A₁MB和等腰直角△A₁CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．