Question

8．如图，在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上有点P₁，P₂，P₃，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，分别过这些点作x轴的垂线，垂足依次为A₁，A₂，A₃，…，分别以P₁A₁，P₃A₃，P₅A₅…为对角线作平行四边形，另两顶点分别落在P_2n-2A_2n-2与P_2nA_2n上（n=1，2，3，…，P₀A₀为y轴），所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃，…，记P₁=$\frac{1}{{S}_{1}}$，P₂=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$，P₃=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$，…，则P₂=2；P_n-P_n-1=$\frac{2n-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到P₁（1，2），P₃（3，$\frac{3}{2}$），P₅（5，$\frac{2}{5}$），…，P_2n-1（2n-1，$\frac{2}{2n-1}$），再根据平行四边形的性质和三角形面积公式可计算出S₁=2，S₂=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{2}{5}$，S_n=$\frac{2}{2n-1}$，所以P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$=2，由于P_n-P_n-1=$\frac{1}{{S}_{n}}$，然后把S_n=$\frac{2}{2n-1}$代入计算即可．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上有点P₁，P₂，P₃，…，它们的横坐标依次为1，2，3，…，
∴P₁（1，2），P₃（3，$\frac{2}{3}$），P₅（5，$\frac{2}{5}$），…，P_2n-1（2n-1，$\frac{2}{2n-1}$），
∴S₁=2×$\frac{1}{2}$×1×2=2，S₂=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$，S₃=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{5}$，S_n=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2}{2n-1}$=$\frac{2}{2n-1}$，
∴P₁=$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
P₂=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2，
P_n-P_n-1=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2n-1}{2}$．
故答案为2，$\frac{2n-1}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了三角形面积公式和反比例函数图象上点的坐标特征．