Question

5．如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由AD+DB求出AB的长即可；
（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB-AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．

解答 解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×$\frac{1}{2}$=10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$（千米），
在Rt△BCD中，BD=$\frac{CD}{tan∠CBD}$=$\frac{10}{1}$=10（千米），
∴AB=AD+DB=10$\sqrt{3}$+10=10（$\sqrt{3}$+1）（千米），
则新铺设的输电线路AB的长度10（$\sqrt{3}$+1）（千米）；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10$\sqrt{2}$（千米），
∴AC+CB-AB=20+10$\sqrt{2}$-（10$\sqrt{3}$+10）=10（1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）（千米），
则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$）千米．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．