Question

15．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，则EF的长为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．

解答 解：∵矩形对边AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠DAC}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF=30°，
∴∠ECF=90°-30°=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB=$\sqrt{3}$，
∴CD=AB=$\sqrt{3}$，
∵∠DCF=30°，
∴CF=$\sqrt{3}$÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
∴EF=2．
故选A．

点评 本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．