Question

4．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E． 将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（3）若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形和翻折的性质可知，∠A=∠C，AB=CD，∠ABE=∠CDF．即可证△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；
（3）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．

解答 （1）证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABD=∠CDB．
∵在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，
∴∠ABE=∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）证明；∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴DE=BF，DE∥BF．
∴四边形BFDE为平行四边形．
（3）解：∵四边形BFDE为为菱形，
∴EF⊥BD，
∵EM⊥BD，FN⊥BD，
∴M，N两点重合．
∴BD=2BM=4，
在Rt△BDC中，
BC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．