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【题目】问题提出;怎样计算1×2+2×3+3×4+…+(n﹣1)×n呢?
材料学习
计算1+2+3…+n
因为1= (1×2﹣0×1);2= (2×3﹣1×2);3= (3×4﹣2×3)
…,n= [n(n+1)﹣(n﹣1)n]
所以1+2+3+…+n
= (1×2﹣0×1)+ (2×3﹣1×2)+ (3×4﹣2×3)+…+ [n(n+1)﹣(n﹣1)n]
= [1×2﹣0×1+2×3﹣1×2+3×4﹣2×3+…+n(n+1)﹣(n﹣1)n]= n(n+1)
(1)探究应用
观察规律:①1×2= (1×2×3﹣0×12);②2×3= (2×3×4﹣1×2×3);
③3×4= (3×4×5﹣2×3×4);…
猜想归纳:
根据(1)中观察的规律直接写出:4×5=
(n﹣1)×n= []
问题解决:
1×2+2×3+3×4+4×5…+(n﹣1)×n
= (1×2×3﹣0×1×2)+ (2×3×4﹣1×2×3)+ (3×4×5﹣2×3×4)+…+ []
=
(2)拓展延伸
根据上面的规律,请直接写出1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+(n﹣2)(n﹣1)n=

【答案】
(1)4×5×6﹣3×4×5;(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n;(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n; [1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n]= (n﹣1)n(n+1)
(2)
(n﹣2)(n﹣1)n(n+1)
【解析】解:(1)4×5= (4×5×6﹣3×4×5);
1×2+2×3+3×4+4×5…+(n﹣1)×n
= (1×2×3﹣0×1×2)+ (2×3×4﹣1×2×3)+ (3×4×5﹣2×3×4)+…+ [(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n]
= [1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n]
= (n﹣1)n(n+1);
2)问题解决:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+(n﹣2)(n﹣1)n
= (1×2×3×4﹣0×1×2×3)+ (2×3×4×5﹣1×2×3×4)+ (3×4×5×6﹣2×3×4×5)+…+ [(n﹣2)(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣3)(n﹣2)(n﹣1)n]
= [1×2×3×4﹣0×1×2×3+2×3×4×5﹣1×2×3×4+3×4×5×6﹣2×3×4×5+…+(n﹣2)(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣3)(n﹣2)(n﹣1)n]
= (n﹣2)(n﹣1)n(n+1).
所以答案是:4×5×6﹣3×4×5,(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n;(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n,= [1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+(n﹣1)n(n+1)﹣(n﹣2)(n﹣1)n], (n﹣1)n(n+1); (n﹣2)(n﹣1)n(n+1).
【考点精析】掌握有理数的四则混合运算是解答本题的根本,需要知道在没有括号的不同级运算中,先算乘方再算乘除,最后算加减.

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