Question

17．如图，两个等边△ABC，△ADE顶点A重合，过点E作BC的平行线，分别交AB，CD于F，G．
（1）求证：DF平分∠AFE；
（2）求证：AG∥BD．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长EG交AC于M，AE与DF交于点O，先证明△AFM是等边三角形，再证明△MAE≌△FAD，得∠AEM=∠ADF，根据三角形内角和定理可以得到∠EFD=∠OAD=60°，由此即可证明．
（2）根据平行线的判定定理只要证明$\frac{OA}{OB}=\frac{OG}{OD}$，即可得到AG∥BD．

解答 证明：（1）如图1中，延长EG交AC于M，AE与DF交于点O，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∵FM∥BC，
∴∠AFM=∠ABC=60°，∠AMF=∠ACB=60°，
∴∠AMF=∠AFM=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴AM=AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴EA=AD，∠EAD=60°，
∴∠MAF=∠EAD，
∴∠MAE=∠FAD，
在△MAE和△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAE=∠FAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△MAE≌△FAD，
∴∠AEM=∠ADF，
∵∠EOF=∠AOD，
∴∠EFD=∠OAD=60°，
∴∠AFO=180°-∠AFM-∠EFO=60°，
∴∠AFD=∠DFE，
∴DF平分∠AFE．
（2）如图2中，AB与CD交于点O，
∵FG∥BC，
∴△OFG∽△OBC，
∴$\frac{OG}{OC}=\frac{FG}{BC}$    ①
∵∠DFA=∠CAB=60°，
∴DF∥AC，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{AC}{DF}$    ②
①×②得$\frac{OG}{OD}=\frac{GF}{DF}$，
∵$\frac{AO}{OF}=\frac{AC}{DF}$   ③，$\frac{OF}{OB}=\frac{FG}{BC}$    ④，
③×④得到$\frac{OA}{OB}=\frac{FG}{DF}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OG}{OD}$，
∴AG∥BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线的判定定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题有点难度，有一定的代数化简技巧．