Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的对角线BO在x轴上，若菱形ABCO的周长为20，点B的坐标为（-6，0），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数上的一点，且△PBO的面积恰好等于菱形ABCO的面积，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交x轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线互相平分且垂直，四条边相等，由OB的长求出OD的长，由菱形周长求出OC的长，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出CD的长，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出解析式；
（2）分两种情况考虑：若P在第一象限反比例图象上，连接PB，PO，求出菱形的面积即为三角形PBO面积，根据BO的长，利用三角形面积公式求出P的纵坐标，代入反比例解析式即可确定出P的坐标；若P′在第三象限反比例图象上，连接OP′，BP′，同理确定出P′坐标即可．

解答 解：（1）连接AC，交x轴于点D，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AD=DC，OD=BD，且AC⊥OB，
∵菱形的周长为20，B（-6，0），
∴AB=AO=BC=OC=5，OD=BD=3，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=4，
∴C（-3，-4），
把C坐标代入反比例解析式得：k=12，
则反比例解析式为y=$\frac{12}{x}$；
（2）分两种情况考虑：
若P在第一象限反比例图象上，连接PB，PO，
∵CD=AD=4，即AC=8，OB=6，
∴S_菱形ABCO=$\frac{1}{2}$AC•BO=24，
∵S_△PBO=$\frac{1}{2}$BO•|y_P纵坐标|=S_菱形ABCO=24，OB=6，
∴y_P纵坐标=8，
把y=8代入反比例解析式得：x=$\frac{3}{2}$，
此时P坐标为（$\frac{3}{2}$，8）；
若P′在第三象限反比例图象上，连接OP′，BP′，
同理得到y_P纵坐标=-8，
把y=-8代入反比例解析式得：x=-$\frac{3}{2}$，
此时P′（-$\frac{3}{2}$，-8），
综上，P的坐标为（$\frac{3}{2}$，8）或（-$\frac{3}{2}$，-8）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，菱形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及勾股定理，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．