Question

如图，双曲线y=

k

x

经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，若△OAB的面积为5，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点A作AC⊥x轴于点C，则AC∥MN，故可得出△OAC∽△OMN，由相似三角形的性质可知OC：OM=AC：MN=OA：ON，再由OA=2AN可知OA：ON=2：3，设A（a，b），可用a、b表示出N点坐标，设点B（

3

2

a，y），点A与点B都在反比例函数y=

k

x

的图象上可用a、b表示出B点坐标，再由OA=2AN，△OAB的面积是5可得出△NAB的面积，△ONB的面积，故可得出ab的值，进而得出k的值．

解答：解：过点A作AC⊥x轴于点C，则AC∥MN，
∴△OAC∽△OMN，
∴OC：OM=AC：MN=OA：ON，
∵OA=2AN，即OA：ON=2：3，
∵设A（a，b），
∴OC=a，AC=b，
∴OM=

3

2

a，MN=

3

2

b，
∴N点坐标为（

3

2

a，

3

2

b），
设点B（

3

2

a，y），
∵点A与点B都在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=ab=

3

2

a•y，
∴y=

2

3

b，即B（

3

2

a，

2

3

b），
∵OA=2AN，△OAB的面积是5，
∴△NAB的面积是

5

2

，
∴△ONB的面积=5+

5

2

=

15

2

，
∴

1

2

NB•OM=

15

2

，

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，
∴ab=12，
∴k=12．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．