Question

【题目】已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）,

观察：

（1）如图1，若∠OBA和∠OAB的平分线交于点C，∠ACB＝　 　°

猜想：

（2）如图2，随着点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）．若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会改变，说明理由．

拓展：

（3）如图3，在（2）基础上，小明将△ABE沿MN折叠，使点E落在四边形ABMN内点E′的位置．求∠BME′+∠ANE′的度数．

Answer 1

【答案】观察：（1）135．猜想：（2）∠E＝45°．拓展：（3）90°．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠OBA+∠OAB=90°，根据角平分线的定义计算即可；

（2）根据角平分线的定义再进行等量代换，计算即可；

（3）根据折叠的性质得到∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），根据三角形内角和定理计算即可

解：（1）∵∠MON＝90°，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∵∠OBA和∠OAB的平分线交于点C，

∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB，

∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝45°，

∴∠CBA＝180°﹣45°＝135°

故答案为135．

（2）∵AE是∠BAO的平分线

∴∠BAE＝ ∠BAO，

∵BC是∠ABN的平分线，

∴∠CBA＝∠NBA，

∵∠NBA＝∠O+∠BAO，

∴∠CBA＝（∠O+∠BAO）＝45°+∠BAE，

∵∠CBA＝∠E+∠BAE，

∴∠E+∠BAE＝45°+∠BAE，

即∠E＝45°．

（3）由折叠可得，∠EMN＝∠E′MN，∠E N M＝∠E′NM，

∴2∠EMN+∠BM E′＝180°，2∠ENM+∠ANE′＝180°，

∴∠BM E′＝180°﹣2∠EMN，∠ANE′＝180°﹣2∠ENM，

∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），

∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠E，∠E＝45°，

∴∠BM E′+∠ANE′＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM）

＝360°﹣2（180°﹣∠E）

＝2∠E

＝90°．