Question

3．如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD，若AB=8，AC=4．
（1）求OD的长．
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的半径为R，根据切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R²+8²=（R+4）²，解得R=6，即OD的长为6；
（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出CE=4.8，所以CD=2CE=9.6．

解答 解：（1）设⊙O的半径为R，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+4，AB=8，
∵OB²+AB²=OA²，
∴R²+8²=（R+4）²，
解得R=6，
∴OD的长为6；

（2）∵CD⊥OB，
∴DE=CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴$\frac{CE}{AB}$=$\frac{OC}{OA}$，
即$\frac{CE}{8}$=$\frac{6}{6+4}$，
∴CE=4.8，
∴CD=2CE=9.6．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质．