Question

20．已知二次函数图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点是点D，其中A（-1，0），C（0，-3），对称轴是直线x=1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若E为抛物线上一个动点，直接写出△ABE的面积S与E点的个数存在怎样的关系？
（3）若P（x，y）为抛物线上一个动点（0＜x＜3），当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，求出此时P点的坐标和ABPC的最大面积；
（4）若Q为抛物线上一个动点，是否存在Q，使得△BCQ为以BC为直角边的直角三角形？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用当D与E点重合时，△ABE的面积S=8，符合题意的点有3个，进而得出△ABE的面积S＞8，以及0＜S＜8时，E的个数；
（3）将四边形分割成三角形，进而表示出图形面积，再利用二次函数最值求法得出答案；
（4）利用QB⊥BC以及QC⊥CB时，分别利用勾股定理求出答案．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
故二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；
      
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
即D（1，-4），
当D，E点重合时，S_△ABE=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
故S=8时，E点有3个，x上方有2个，x轴下方有1个，共计3个；
S＞8时，E点在x轴上方共有2个，
0＜S＜8时，x上方有2个，x轴下方有2个，共计4个；

（3）如图1，P（x，x²-2x-3）（0＜x＜3）
S_{四边形ABPC}=S_△AOC+S_△POC+S_△POB，
=$\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×3×x+\frac{1}{2}×3×$（x²-2x-3），
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，S_最大值=$\frac{75}{8}$，此时P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；

（4）如图2，Q（x，x²-2x-3），B（3，0），C（0，-3），
则BC²=18，BQ²=（x-3）²+（x²-2x-3）²，
QC²=x²+（x²-2x）²，
①QC²=BC²+BQ²，（x²-2x）²=18+（x-3）²+（x²-2x-3）²，
解得：x₁=-2，x₂=3，
x₁=-2时，Q₁（-2，5），x₂=3时，与B重合，舍去，
②BQ²=BC²+QC²，（x-3）²+（x²-2x-3）²=18+x²+（x²-2x）²，
解得：x₃=0，x₄=1，
当x₃=0时，与C重合，舍去，
当x₄=1时，Q₂（1，-4），
综上所述：Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及不规则图形面积的求法等二次函数综合题型．解答（4）题时，利用分类讨论得出是解题关键．