Question

15．已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x经过原点，抛物线与x轴交于另一点A，点E（3，m）在抛物线上，连接OE，作∠OEF=45°，交抛物线于点F，求直线EF的解析式．

Answer 1

分析 过点O作OB⊥EF垂足为B，将x=3代入抛物线的解析式求得点E的坐标为（3，-1），由勾股定理求得OE=$\sqrt{10}$，由∠OEF=45°，可知OB=BE=$\sqrt{5}$，设点B的坐标为（x，y），由点之间的距离公式得到关于x、y的方程组，从而可求得点B的坐标，最后利用待定系数法可求得EF的解析式..

解答 解：过点O作OB⊥EF垂足为B．

将x=3代入抛物线的解析式得：y=-1．
∴点E的坐标为（3，-1）．
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵∠OEF=45°，
∴OB=BE=$\sqrt{5}$．
设点B的坐标为（x，y），两点之间的距离公式得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=5}\\{（x-3）^{2}+（y+1）^{2}=5}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$（舍去）．
设EF的解析式为y=kx+b．将点B、E的坐标代入直线解解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴直线EF的解析式为y=$\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质、勾股定理、两点之间的距离公式，解二元二次方程组，求得点B的坐标是解题的关键．