Question

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，OE∥AB交BC于点E，判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 连接OD，CD，求出∠ADC=∠CDB=90°，推出DE=BE=CE，推出∠EDC=∠ECD，∠OCD=∠ODC，推出∠EDO=∠ECO=90°即可．

解答 解：（1）DE与⊙O相切，
理由如下：连接OD，CD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵OE∥AB，OA=OC，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDC=∠ECD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCD+∠DCE=∠ODC+∠EDC，
即∠EDO=∠ECO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．