Question

13．如图，AB为⊙O直径，BF⊥AB，E为BF上一点，AE和AF交⊙O于C和D，求证：C、D、F、E四点共圆．

Answer 1

分析 连接BC、CD，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠BCE=90°，由角的互余关系得出∠ABC=∠BEC，由圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠ADC=180°，得出∠BEC+∠ADC=180°，证出∠BEC=∠CDF，即可得出结论．

解答 证明：连接BC、CD，如图所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠EBC=90°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF=90°，
即∠ABC+∠EBC=90°，
∴∠ABC=∠BEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BEC+∠ADC=180°，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠BEC=∠CDF，
∴C、D、F、E四点共圆．

点评 本题是四点共圆综合题目，考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质、四点共圆的判定等知识；本题有一定难度，综合性强，运用圆周角定理和圆内接四边形的性质得出角之间的数量关系是解决问题的关键．