Question

2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12，点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B两地同时出发，几秒后△PBQ与原三角形相似？

Answer 1

分析 设x秒后△PBQ与原三角形相似，则可用x表示出AP=x，PB=6-x，BQ=2x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{2x}{12}$，当$\frac{PB}{CB}$=$\frac{BQ}{BA}$时，△PBQ∽△CBA，即$\frac{6-x}{12}$=$\frac{2x}{6}$，然后分别利用比例性质求出x即可．

解答 解：设x秒后△PBQ与原三角形相似，则AP=x，PB=6-x，BQ=2x，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$时，△BPQ∽△BAC，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{2x}{12}$，解得x=3（s）；
当$\frac{PB}{CB}$=$\frac{BQ}{BA}$时，△PBQ∽△CBA，即$\frac{6-x}{12}$=$\frac{2x}{6}$，解得x=$\frac{6}{5}$（s）．
答：如果P，Q分别从A，B两地同时出发，$\frac{6}{5}$秒或3秒时△PBQ与原三角形相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了动点问题的解决方法．