Question

11．如图，将边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′．
（1）求证：ED=EB′；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据HL即可证明△ADE≌△AB'E，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）求得∠EAD的度数，根据三角函数求得ED的长，则△ADE的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去△ADE和△AB'E的面积即可求解．

解答 解：（1）连接AE．
在直角△ADE和直角△AB'E中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB'=AD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AB'E，
∴DE=EB'；
（2）∵△ADE≌△AB'E，
∴∠DAE=∠DAD'，
又∵∠BAB'=30°，∠BAD=90°，
∴∠ADE=30°，
在直角△ADE中，ED=AD•tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
则S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•ED=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△AB'E=S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴S_阴影=3-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，正确证明△ADE≌△AB'E是本题的关键．