Question

20．如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB=AC，求证：AB²=AE•AD．

Answer 1

分析 连结CD，如图，根据等腰三角形的性质得∠B=∠ACB，再利用圆内接四边形的性质得∠B+∠ADC=180°，由邻补角的定义得∠ACB+∠ACE=180°，则∠ADC=∠ACE，于是可判断△ACD∽△AEC，利用相似比可得AC²=AE•AD，然后利用等线段代换即可得到结论．

解答 证明：连结CD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADC=∠ACE，
而∠DAC=∠CAE，
∴△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AE•AD，
∴AB²=AE•AD．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；利用三角形相似的性质计算有关线段的长．也考查了三角形的外接圆与外心．