Question

15．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为x=2．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC的周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的对称性可求得点A、B的坐标，然后代入解析式求得b、c的值即可；
（2）连接BC，交x=2与点P，然后求得可证明△APC的周长=AC+BC，最后求得BC、AC的长即可．

解答 解：（1）∵点A与点B关于x=2对称，AB=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）．
将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．
（2））如图所示：连接BC交直线x=2与点P．

将x=0代入抛物线的解析式得：y=3．
∴OC=3．
∵点A与点B关于x=2对称，
∴PA=PB．
∴△ACP的周长=AC+AP+CP=AC+PB+CP=AC+CB．
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$，在Rt△COB中，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∴△ACP周长的最小值3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质、轴对称-路径最短问题，明确点C、P、B在一条直线上时，△ACP的周长有最小值是解题的关键．