Question

12．已知：在⊙O中，CD⊥AB于E．
（1）若AE=2，BE=6，OE=$\sqrt{5}$，求⊙O的半径及弦CD的长．
（2）若⊙O的半径为5，OE=$\sqrt{5}$，求CD²+AB²．
（3）若⊙O的半径为5，求AD²+BC²．

Answer 1

分析 （1）过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥CD于点G，连接OA，OD，先根据垂径定理求出AF的长，再由勾股定理求出OF的长，进而可得出OA的长，由矩形的性质得出OG=EF，再根据勾股定理求出DG的长，进而可得出结论；
（2）连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM²=DO²-DM²=25-（$\frac{DC}{2}$）²，、ON²=OA²-AN²=25-（$\frac{AB}{2}$）²，再把两式相加即可得出结论；
（3）连接CO并延长CO交⊙O于点F，连接BF，DF，由圆周角定理可知∠CBF=∠CDF=90°，故CF²=BC²+BF²，再由AB⊥CD可知∠BED=90°，故AB∥DF，由此可得出AD=BF，由此可得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥CD于点G，连接OA，OD，
∵AE=2，BE=6，
∴AB=2+6=8，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴EF=AF-AE=4-2=2．
∵OE=$\sqrt{5}$，
∵OF=$\sqrt{{OE}^{2}-{EF}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{5}）}^{2}-{2}^{2}}$=1，
在Rt△AOF中，
∵OA²=AF²+OF²，即OA²=4²+1²，
∴OA=$\sqrt{17}$．
∵OE⊥CD，AB⊥CD，OF⊥AB，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OG=EF=2．
在Rt△ODG中，DG=$\sqrt{{OD}^{2}-{OG}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{17}）}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CD=2DG=2$\sqrt{13}$．

（2）如图2，连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²，
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=25-（$\frac{DC}{2}$）²，
又∵ON²=OA²-AN²=25-（$\frac{AB}{2}$）²，
∴OM²+ON²=25-（$\frac{AB}{2}$）²+25-（$\frac{DC}{2}$）²=5，
∴AB²+CD²=180；

（3）如图3，连接CO并延长CO交⊙O于点F，连接BF，DF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF=∠CDF=90°，
∴CF²=BC²+BF²．
∵AB⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴AB∥DF，
∴AD=BF，
∴CF²=BC²+AD²=100．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．