Question

5．如图，有一边长为5的正方形ABCD和一等腰△PQR，PQ=PR=5，QR=8，点B、Q、C、R在同一直线l上，当Q、C两点重合时，等腰△PQR以每秒1cm的速度沿直线l按箭头所示的方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD和等腰△PQR重叠部分的面积为S．
（1）当t=3秒时，PQ与CD相交于点F，点E为QR的中点，连结PE，求证：△QCF∽△QEP．
（2）当t=5秒时，求S的值．
（3）当8≤t＜9时，求S关于t的函数表达式．
（4）当9≤t≤13时，求S关于t的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据PE⊥QR，得出FC∥PE，即可证出△QCF∽△QEP；
（2）当t=5秒时，先根据△QFB∽△QPE，△RCG∽△REP，求出S_△QFB、S_△RCG，最后根据S=S_△PRQ-S_△QFB-S_△RCG代入计算即可；
（3）当8≤t＜9时，根据QB：QE=（t-5）：4，△QFB∽△QPE，求出S_△QFB，再根据S=S_△PEQ-S_△QFB代入计算即可；
（4）当9＜t≤13时，根据RB：RE=（13-t）：4，△RFB∽△RPE，求出S_△RFB，再根据S=S_△RFB把所得结果进行整理即可．

解答 解：（1）如图1：
∵PQ=PR，点E为QR的中点，
∴PE⊥QR，
∴FC∥PE，
∴△QCF∽△QEP；

（2）当t=5时，CR=3．
设PR与DC交于G，∵PE⊥BC，PQ=PR=5，QR=8，
∴PE=$\sqrt{P{R}^{2}+R{E}^{2}}$=3，
由△RCG∽△REP，
∴$\frac{CG}{PE}=\frac{CR}{RE}$，
∴CG=$\frac{9}{4}$，
∴S_△RCG=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$，
∴S=12-$\frac{27}{8}$=$\frac{69}{8}$（cm²）；


（3）如图3：当8≤t＜9时，
则QB：QE=（t-5）：4，
∵△QFB∽△QPE，
∴S_△QFB：S_△QPE=（t-5）²：16，
∴S_△QFB：6=（t-5）²：16，
∴S_△QFB=$\frac{3}{8}$（t-5）²，
∴S=S_△PEQ-S_△QFB=12-$\frac{3}{8}$（t-5）²=-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{15}{4}$+$\frac{21}{8}$，
如图4：
当9＜t≤13时，
则RB：RE=（13-t）：4，
∵△RFB∽△RPE，
∴S_△RFB：S_△RPE=（13-t）²：16，
∴S_△RFB：6=（13-t）²：16，
∴S=S_△RFB=$\frac{3}{8}$（13-t）²=$\frac{3}{8}$t²-$\frac{39}{4}$+$\frac{507}{8}$．

点评 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、相似三角形的面积之比等于相似比的平方、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论思想的运用．