Question

【题目】如图1所示，OA是⊙O的半径，点D为OA上的一动点，过D作线段CD⊥OA交⊙O于点F，过点C作⊙O的切线BC，B为切点，连接AB，交CD于点E．

（1）求证：CB=CE；

（2）如图2，当点D运动到OA的中点时，CD刚好平分，求证：△BCE是等边三角形；

（3）如图3，当点D运动到与点O重合时，若⊙O的半径为2，且∠DCB=45°，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）在图1中，连接OB，根据切线的性质可得出∠OBC=90°，由OA=OB可得出∠DAE=∠OBA，根据等角的余角相等可得出∠DEA=∠CBE，再结合对顶角相等即可得出∠CEB=∠CBE，利用等角对等边可证出CB=CE；
（2）在图2中，连接OF，OB，在Rt△ODF中，由OF=2OD可得出∠DOF=60°，结合CD刚好平分，可得出∠AOB=2∠AOF=120°，再利用四边形内角和为360°可求出∠C=60°，结合CB=CE即可证出△BCE是等边三角形；
（3）在图3中，连接OB，则△OBC为等腰直角三角形，进而可求出OC的长度，结合（1）的结论可求出OE的长度，再根据EF=DF-OE即可求出线段EF的长．

证明：（1）在图1中，连接OB．

∵CB为⊙O的切线，切点为B，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°．

∵OA=OB，

∴∠DAE=∠OBA．

∵∠DAE+∠DEA=90°，∠OBA+∠CBE=90°，

∴∠DEA=∠CBE．

∵∠CEB=∠DEA，

∴∠CEB=∠CBE，

∴CB=CE．

（2）在图2中，连接OF，OB．

在Rt△ODF中，OF=OA=2OD，

∴∠OFD=30°，

∴∠DOF=60°．

∵CD刚好平分，

∴∠AOB=2∠AOF=120°，

∴∠C=360°﹣∠ODC﹣∠OBC﹣∠AOB=60°．

∵CB=CE，

∴△BCE是等边三角形．

（3）解：在图3中，连接OB．

∵∠OBC=90°，∠DCB=45°，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴BC=OB=2，OC=2．

又∵CB=CE，

∴OE=OC﹣CE=OC﹣BC=2﹣2，

∴EF=DF﹣OE=2﹣（2﹣2）=4﹣2．