Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．

（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；

（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；

（3）若以EF为直径的圆与线段AC只有一个公共点，求出相应x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）

（2）不存在.

（3）

【解析】分析：（1）点F在AC上，点E在BD上时，①当时，△CFE∽△CDA，②当时，分别列出方程求解即可；

（2）不存在．分两种情形说明：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．只要证明EN=FN即可解决问题；

（3）分四种情形①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t=．③如图5中，当⊙O与AB相切时，④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．分别求解即可.

详解：（1）如图1中，

点F在AC上，点E在BD上时，①当时，△CFE∽△CDA，

∴=，

∴t=，

②当时，即=，

∴t=2，

当点F在AB上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，

综上所述，t=s或2s时，△EFC和△ACD相似．

（2）不存在．

理由：如图2中，当点F在AC上，点E在BD上时，作FH⊥BC于H，EF交AD于N．

∵CF=5t．BE=4t，

∴CH=CFcosC=4t，

∴BE=CH，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴DE=DH，

∵DN∥FH，

∴=1，

∴EN=FN，

∴S△END=S△FND，

∴△EFD被 AD分得的两部分面积相等，

同法可证当点F在AB上，点E在CD上时，△EFD被 AD分得的两部分面积相等，

∴不存在某一时刻，使得△EFD被 AD分得的两部分面积之比为3：5．

（3）①如图3中，当以EF为直径的⊙O经过点A时，⊙O与线段AC有两个交点，连接AE，则∠EAF=90°．

由=cosC=，可得=，

∴t=，

∴0≤t＜时，⊙O与线段AC只有一个交点．

②如图4中，当⊙O与AC相切时，满足条件，此时t=．

③如图5中，当⊙O与AB相切时，cosB=，即=，解得t=．

④如图6中，⊙O经过点A时，连接AE，则∠EAF=90°．

由cosB==，即=，t=，

∴＜t≤4时，⊙O与线段AC只有一个交点．

综上所述，当⊙O与线段AC只有一个交点时，0≤t＜或或或＜t≤4．