Question

18．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∠A=135°．将纸片先沿直线AC对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为$2\sqrt{2}$的平行四边形，则CD=2+$\sqrt{2}$或2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长．

解答 解：如图1所示：

延长BE交CD于点N，过点A作AT⊥BE于点T，
当四边形ABED为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABED是菱形，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD∥BN，AB∥DE，
∴∠ABT=45°，∠BAT=45°，∠ABT=∠DEN=45°，∠END=90°，
则∠NDE=45°，
∵四边形ABCE面积为2$\sqrt{2}$，
∴设AT=x，则AB=BE=ED=$\sqrt{2}$x，
故$\sqrt{2}$x×x=2$\sqrt{2}$，
解得：x=$\sqrt{2}$（负数舍去），
则BE=ED=2，EN=$\sqrt{2}$，
故DC=DN+NC=$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$+2=2+2$\sqrt{2}$；
如图2，

当四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵∠B=∠D=90°，∠BAD=135°，
∴∠BCA=∠DCA=22.5°，
∵AE=CE，
∴∠AEB=45°，
∴设AB=y，则BE=y，AE=$\sqrt{2}$y，
∵四边形AECF面积为2$\sqrt{2}$，
∴AB×CE=$\sqrt{2}$y²=2$\sqrt{2}$，
解得：y=$\sqrt{2}$，故CE=2，BE=$\sqrt{2}$，
则CD=BC=2+$\sqrt{2}$，
综上所述：CD的值为：2+$\sqrt{2}$或2+2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2+2\sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了翻折变换，剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质，根据题意画出正确图形是解题关键．