Question

如图所示，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC=PC．求证：
（1）AB=AP；
（2）

BC

=

CD

．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）连接AC，根据AB为圆心O的直径可知∠ACB=90°，即AC⊥BP．再根据BC=PC可知AC为BP的垂直平分线，故可得出结论；
（2）连接CD，根据圆周角定理得出∠ADC=∠ABC=∠ABP=∠APB=∠APC，故可得出△CPD为等腰三角形，所以CD=PC=BC，由此可得出结论．

解答：（1）证明：连接AC，
∵AB为圆心O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP．
∵BC=PC，
∴AC为BP的垂直平分线，
∴AB=AP；

（2）证明：连接CD，
∵由（1）知AB=AP，
∴∠APB=∠ABP．
∵∠ADC，∠ABC均为

AC

所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=∠ABP=∠APB=∠APC，
∴△CPD为等腰三角形，
∴CD=PC=BC
∴

BC

=

CD

．

点评：本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．