Question

如图，抛物线y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

与x轴交于A，B两点，点C（1，m）在抛物线上，P在y轴上，且△BCP为等腰三角形，求P坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：将C坐标代入抛物线解析式求出m的值，确定出点C坐标；然后分类讨论：BC为底和BC为腰两种情况下的点P的坐标．

解答：解：解：令y=0，则-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得，x=4或x=-2．
如图所示，A（-2，0），B（4，0）．
把C（1，m）代入抛物线解析式，得到：m=-

1

2

（1-1）²+

9

2

=

9

2

，则C（1，

9

2

）．
∴BC=

(4-1)2+( 9 2 )2

=

117

2

，
∵P在y轴的正半轴上，
∴设P（0，y），
①当BC=PC时，

(-1)2+(y- 9 2 )2

=

117

2

，
解得，y₁=

9+ 113

2

，y₂=

9- 113

2

，
P点坐标为（0，

9+ 113

2

）或（0，

9- 113

2

）．
②当BC=PB时，

(0-4)2+y2

=

117

2

，
解得，y=

53

2

或y=-

53

2

．
则P（0，

53

2

）或（0，-

53

2

）；
③当PC=PB时，

(-1)2+(y- 9 2 )2

=

(0-4)2+y2

，
解得，y=

7

12

．则P（0，

7

12

）．
综上所述，符合题意的点P的坐标是：（0，

9+ 113

2

）或（0，

9- 113

2

）或（0，

53

2

）或（0，-

53

2

）或（0，

7

12

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，以防漏解，同时要灵活运用两点间的距离公式．