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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+c(c为常数)的对称轴如图所示,且抛物线过点C(0,c).

(1)当c=﹣3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2﹣2x+c上,求y1的最小值;

(2)若抛物线与x轴有两个交点,自左向右分别为点A、B,且OA=OB,求抛物线的解析式;

(3)当﹣1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.

【答案】(1)-4(2)y=x2﹣2x+或y=x2﹣2x﹣8(3)当﹣3<c<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点

【解析】

1)根据二次函数的性质,求出顶点的纵坐标即可解决问题;

2)分两种情形①当点AB都在原点的右侧时,如解图1,②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图2,分别求解即可;

3)把问题转化为不等式即可解决问题;

(1)当c=﹣3时,抛物线为y=x2﹣2x﹣3,

∴抛物线开口向上,有最小值,

∴y最小值 =﹣4,

∴y1的最小值为﹣4;

(2)抛物线与x轴有两个交点,

①当点A、B都在原点的右侧时,如解图1,

设A(m,0),

∵OA=OB,

∴B(2m,0),

∵二次函数y=x2﹣2x+c的对称轴为x=1,

由抛物线的对称性得1﹣m=2m﹣1,解得m=

∴A(,0),

∵点A在抛物线y=x2﹣2x+c上,

∴0=+c,解得c=

此时抛物线的解析式为y=x2﹣2x+

②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图2,

设A(﹣n,0),

∵OA=OB,且点A、B在原点的两侧,

∴B(2n,0),

由抛物线的对称性得n+1=2n﹣1,

解得n=2,

∴A(﹣2,0),

∵点A在抛物线y=x2﹣2x+c上,

∴0=4+4+c,解得c=﹣8,

此时抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8,

综上,抛物线的解析式为y=x2﹣2x+或y=x2﹣2x﹣8;

(3)∵抛物线y=x2﹣2x+c与x轴有公共点,

∴对于方程x2﹣2x+c=0,判别式b2﹣4ac=4﹣4c≥0,

∴c≤1.

当x=﹣1时,y=3+c;当x=0时,y=c,

∵抛物线的对称轴为x=1,且当﹣1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,

∴3+c>0且c<0,解得﹣3<c<0,

综上,当﹣3<c<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点.

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