【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+c(c为常数)的对称轴如图所示,且抛物线过点C(0,c).
(1)当c=﹣3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2﹣2x+c上,求y1的最小值;
(2)若抛物线与x轴有两个交点,自左向右分别为点A、B,且OA=OB,求抛物线的解析式;
(3)当﹣1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.
【答案】(1)-4(2)y=x2﹣2x+或y=x2﹣2x﹣8(3)当﹣3<c<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点
【解析】
(1)根据二次函数的性质,求出顶点的纵坐标即可解决问题;
(2)分两种情形①当点A、B都在原点的右侧时,如解图1,②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图2,分别求解即可;
(3)把问题转化为不等式即可解决问题;
(1)当c=﹣3时,抛物线为y=x2﹣2x﹣3,
∴抛物线开口向上,有最小值,
∴y最小值= =﹣4,
∴y1的最小值为﹣4;
(2)抛物线与x轴有两个交点,
①当点A、B都在原点的右侧时,如解图1,
设A(m,0),
∵OA=OB,
∴B(2m,0),
∵二次函数y=x2﹣2x+c的对称轴为x=1,
由抛物线的对称性得1﹣m=2m﹣1,解得m=,
∴A(,0),
∵点A在抛物线y=x2﹣2x+c上,
∴0=﹣+c,解得c=,
此时抛物线的解析式为y=x2﹣2x+;
②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图2,
设A(﹣n,0),
∵OA=OB,且点A、B在原点的两侧,
∴B(2n,0),
由抛物线的对称性得n+1=2n﹣1,
解得n=2,
∴A(﹣2,0),
∵点A在抛物线y=x2﹣2x+c上,
∴0=4+4+c,解得c=﹣8,
此时抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8,
综上,抛物线的解析式为y=x2﹣2x+或y=x2﹣2x﹣8;
(3)∵抛物线y=x2﹣2x+c与x轴有公共点,
∴对于方程x2﹣2x+c=0,判别式b2﹣4ac=4﹣4c≥0,
∴c≤1.
当x=﹣1时,y=3+c;当x=0时,y=c,
∵抛物线的对称轴为x=1,且当﹣1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,
∴3+c>0且c<0,解得﹣3<c<0,
综上,当﹣3<c<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点C作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.
(1)求证:四边形CODE是矩形.
(2)若AB=5,AC=6,求四边形CODE的周长.
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【题目】如图,已知矩形ABCD,按照下列操作作图:①以A为圆心,AC长为半径画弧交AD的延长线于点E;②以E为圆心,EC长为半径画弧交DE的延长线于点F;③分别以C,F为圆心,大于CF的长为半径画弧,两弧相交于点N;④作射线EN,根据作图,若∠ACB=72°,则∠FEN的度数为( )
A. 54° B. 63° C. 72° D. 75°
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作直线BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:EF平分∠AEH;
(3)求证:CD=HF.
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【题目】若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为(0,2),则下列说法正确的是( )
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)
C. 当x=1时,y有最大值为0
D. 抛物线的对称轴是直线x=
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【题目】某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少?
(3)若该校九年级有600名学生,请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人?
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【题目】如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆D与y轴相切于点C(0,4),与x轴相交于A、B两点,且AB=6.
(1)求D点的坐标和圆D的半径;
(2)求sin ∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式;
(3)设抛物线的顶点为F,证明直线AF与圆D相切.
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