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【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆Dy轴相切于点C(04),与x轴相交于AB两点,且AB6.

(1)D点的坐标和圆D的半径;

(2)sin ∠ACB的值和经过CAB三点的抛物线对应的函数表达式;

(3)设抛物线的顶点为F,证明直线AF与圆D相切.

【答案】(1)点D的坐标为(54),圆的半径为5;(2sinACByx2x4;(3)详见解析.

【解析】

1)连接CD,过点DDEAB,垂足为E,连接AD.依据垂径定理可知AE=3,然后依据切线的性质可知CDy轴,然后可证明四边形OCDE为矩形,则DE=4,然后依据勾股定理可求得AD的长,故此可求得⊙D的半径和点D的坐标;

2)先求得A20)、B80).设抛物线的解析式为y=ax2)(x8),将点C的坐标代入可求得a的值.根据三角形面积公式得:SABC=BC×ACsinACB=AB×CO,代入计算即可;

3)求得抛物线的顶点F的坐标,然后求得DFAF的长,依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形,则∠DAF=90°,故此AF是⊙D的切线.

1)连接CD,过点DDEAB,垂足为E,连接AD

DEAB,∴AEAB=3

∵⊙Dy轴相切,∴DCy轴.

∵∠COE=OED=OCD=90°,∴四边形OCDE为矩形,∴OC=DE

C04),∴DE=4

RtAED中,AD5,∴⊙D的半径为5,∴D54).

故答案为:(54),5

2)如图1所示:

D54),∴E50),∴A20)、B80).

设抛物线的解析式为y=ax2)(x8),将点C的坐标代入得:16a=4,解得:a,∴抛物线的解析式为yx2x+4

SABC=BC×ACsinACB=AB×CO,∴sinACB==

3)连接DF,如图2

yx2x+4=,∴抛物线的顶点坐标F5),∴DF=4AF

又∵AD=5,∴AD2+AF2=DF2,∴△DAF为直角三角形,∴∠DAF=90°,∴AF是⊙D的切线.

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