【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆D与y轴相切于点C(0,4),与x轴相交于A、B两点,且AB=6.
(1)求D点的坐标和圆D的半径;
(2)求sin ∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式;
(3)设抛物线的顶点为F,证明直线AF与圆D相切.
【答案】(1)点D的坐标为(5,4),圆的半径为5;(2)sin∠ACB=,y=x2-x+4;(3)详见解析.
【解析】
(1)连接CD,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接AD.依据垂径定理可知AE=3,然后依据切线的性质可知CD⊥y轴,然后可证明四边形OCDE为矩形,则DE=4,然后依据勾股定理可求得AD的长,故此可求得⊙D的半径和点D的坐标;
(2)先求得A(2,0)、B(8,0).设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x﹣8),将点C的坐标代入可求得a的值.根据三角形面积公式得:S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO,代入计算即可;
(3)求得抛物线的顶点F的坐标,然后求得DF和AF的长,依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形,则∠DAF=90°,故此AF是⊙D的切线.
(1)连接CD,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接AD.
∵DE⊥AB,∴AEAB=3.
∵⊙D与y轴相切,∴DC⊥y轴.
∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°,∴四边形OCDE为矩形,∴OC=DE.
∵C(0,4),∴DE=4.
在Rt△AED中,AD5,∴⊙D的半径为5,∴D(5,4).
故答案为:(5,4),5.
(2)如图1所示:
∵D(5,4),∴E(5,0),∴A(2,0)、B(8,0).
设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x﹣8),将点C的坐标代入得:16a=4,解得:a,∴抛物线的解析式为yx2x+4.
∵S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO,∴sin∠ACB==.
(3)连接DF,如图2.
∵yx2x+4=,∴抛物线的顶点坐标F(5,),∴DF=4,AF.
又∵AD=5,∴AD2+AF2=DF2,∴△DAF为直角三角形,∴∠DAF=90°,∴AF是⊙D的切线.
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【题目】如图,已知A1,A2,A3,…,An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,An+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点B1,B2,B3,…,Bn+1,连接A1B2,B1A2,A2B3,B2A3,…,AnBn+1,BnAn+1依次产生交点P1,P2,P3,…,Pn,则Pn的坐标是______.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+c(c为常数)的对称轴如图所示,且抛物线过点C(0,c).
(1)当c=﹣3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2﹣2x+c上,求y1的最小值;
(2)若抛物线与x轴有两个交点,自左向右分别为点A、B,且OA=OB,求抛物线的解析式;
(3)当﹣1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,BC是弦,点P从点A开始,沿AB向点B以1 cm/s的速度移动,若AB长为10 cm,点O到BC的距离为4 cm.
(1)求弦BC的长;
(2)经过几秒△BPC是等腰三角形?(PB不能为底边)
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【题目】(本小题10分)已知A, B,C是⊙O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D.
(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小;
(Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣ x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.
(1)试求该抛物线表达式;
(2)求证:点C在以AD为直径的圆上;
(3)是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形,若存在求出P点的坐标,不存在请说明理由。
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