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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作直线BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:EF平分∠AEH;

(3)求证:CD=HF.

【答案】详见解析.

【解析】

(1)连接OE,由于BE是角平分线,则有∠CBE=OBE;而OB=OE,就有∠OBE=OEB,等量代换有∠OEB=CBE,那么利用内错角相等,两直线平行,可得OEBC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切线;

(2)C=BHE=90°,EBC=EBA,BEC=BEH,根据BF是⊙O是直径,

得到∠BEF=90°,FEH+BEH=90°,AEF+BEC=90°,得到∠FEH=FEA,

即可证明FE平分∠AEH.
(3)连结DE,先根据AAS证明CDE≌△HFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF.

(1)证明:(1)如图,连接OE.

BEEF,∴∠BEF=90°,

BF是圆O的直径,

OB=OE,

∴∠OBE=OEB,

BE平分∠ABC,

∴∠CBE=OBE,

∴∠OEB=CBE,

OEBC,

∴∠AEO=C=90°,

AC是⊙O的切线;

(2)证明:∵∠C=BHE=90°,EBC=EBA,

∴∠BEC=BEH,

BF是⊙O是直径,

∴∠BEF=90°,

∴∠FEH+BEH=90°,AEF+BEC=90°,

∴∠FEH=FEA,

FE平分∠AEH.

(3)证明:如图,连结DE.

BE是∠ABC的平分线,ECBCC,EHABH,

EC=EH.

∵∠CDE+BDE=180°,HFE+BDE=180°,

∴∠CDE=HFE,

∵∠C=EHF=90°,

∴△CDE≌△HFE(AAS),

CD=HF,

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