【题目】(发现问题)爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目:
如图①,点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(2,0).动点B在⊙O上,连结AB,作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序),求OC的最大值
(解决问题)小明经过多次的尝试与探索,终于得到解题思路:在图①中,连接OB,以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE,连接AE.
(1)请你找出图中与OC相等的线段,并说明理由;
(2)求线段OC的最大值.
(灵活运用)
(3)如图②,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
(迁移拓展)
(4)如图③,BC=4,点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点,以BD为边作等边△ABD,请直接写出AC的最值.
【答案】(1)结论:OC=AE,理由见解析;(2)OC的最大值为3;(3)最大值为2+3;P(2﹣,);(4)AC的最大值为2+2, 2﹣2.
【解析】
(1)结论:,只要证明即可;
(2)利用三角形的三边关系即可解决问题;
(3)连接,将绕着点顺时针旋转得到,连接,得到是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到,,根据当在线段的延长线时,线段取得最大值,即可得到最大值为,过作轴于,根据等腰直角三角形的性质,即可得到结论;
(4)如图4中,以为边作等边三角形,由,推出,推出欲求的最大值,只要求出的最大值即可,由定值,,推出点在以为直径的上运动,由图象可知,当点在上方,时,的值最大.
(1)如图①中,结论:OC=AE,
理由:∵△ABC,△BOE都是等边三角形,
∴BC=BA,BO=BE,∠CBA=∠OBE=60°,
∴∠CBO=∠ABE,
∴△CBO≌△ABE,
∴OC=AE.
(2)在△AOE中,AE≤OE+OA,
∴当E、O、A共线,
∴AE的最大值为3,
∴OC的最大值为3.
(3)如图1,连接BM,
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),
∴OA=2,OB=5,
∴AB=3,
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值(如图2中)
最大值=AB+AN,
∵AN=AP=2,
∴最大值为2+3;
如图2,过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=,
∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣,
∴P(2﹣,).
(4)如图4中,以BC为边作等边三角形△BCM,
∵∠ABD=∠CBM=60°,
∴∠ABC=∠DBM,∵AB=DB,BC=BM,
∴△ABC≌△DBM,
∴AC=MD,
∴欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可,
∵BC=4=定值,∠BDC=90°,
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动,
由图象可知,当点D在BC上方,DM⊥BC时,DM的值最大,最大值=2+2,
∴AC的最大值为2+2.
当点A在线段BD的右侧时,同法可得AC的最小值为2﹣2.
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【题目】如图,已知点,,,的坐标分别为,,,.线段,,组成的图形为图形,点沿移动,设点移动的距离为,直线过点,且在点移动过程中,直线随运动而运动.
(1)若点过点时,求直线的解析式;
(2)当过点时,求值;
(3)①若直线与图形有一个交点,直接写出的取值范围;
②若直线与图形有两个交点,直接写出的取值范围.
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【题目】铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
(3)该干果每千克降价多少元时,商贸公司获利最大?最大利润是多少元?
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【题目】为弘扬中华传统文化,黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”.比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.
(1)小丽参加“单人组”,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概率是多少?
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
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【题目】如图,已知抛物线交轴于两点,与轴交于点,连接
求抛物线的解析式;
若是轴下方抛物线上的一点,且,请通过计算或推理判断与的位置关系:
在轴左侧的抛物线上是否存在与点不重合的点,使等于中的某个锐角? 若存在,请求出的值:若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OF⊥DE于点F,连结OE,动点P在AO上从点A向终点O匀速运动,同时,动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点.
(1)求点B的坐标和OE的长;
(2)设点Q2为(m,n),当tan∠EOF时,求点Q2的坐标;
(3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合.
①延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t,求s关于t的函数表达式.
②当PQ与△OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.
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【题目】阅读下列材料:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个非零实数根分别为x1,x2,则x1+x2=﹣,x1x2=.
解决下列问题:已知关于x的一元二次方程(x+n)2=6x有两个非零不等实数根x1,x2,设m=,
(Ⅰ)当n=1时,求m的值;
(Ⅱ)是否存在这样的n值,使m的值等于?若存在,求出所有满足条件的n的值;若不存在,请说明理由.
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