Question

【题目】如图，已知抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接

求抛物线的解析式;

若是轴下方抛物线上的一点，且，请通过计算或推理判断与的位置关系:

在轴左侧的抛物线上是否存在与点不重合的点，使等于中的某个锐角? 若存在，请求出的值:若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y= x2++4；（2）AD∥BC；（3）存在满足条件的点P，当∠ACP=∠OBC时，=；当∠ACP'=∠OCB时，=1

【解析】

（1）设抛物线的解析式为交点式，用待定系数法求解即可．

（2）由，利用轴上的M（-4，0），确定D的坐标，利用的解析式确定它们的位置关系．

（3）分情况讨论：①当CP在AC右侧时，显然不存在，

②当CP在AC左侧时，当∠ACP=∠OBC，证明△ACQ∽△ABC可得答案，

再过作，交抛物线于，利用垂直确定的坐标，说明∠ACP' =∠OCB，

所以可得答案．

（1）由题设可设抛物线解析式为y=a (x+2)(x+8)，

将点C的坐标代入，得4=16a，解得a=，

∴抛物线解析式为y=(x+2)(x+8)=x2++4，

（2）取点M（-4，0），连接CM并延长，交抛物线于点D，则BM=2AM，

故S△CBM=2S△CAM，S△MBD=2S△MAD，∴S△CBD=2S△CAD，

设为，

，解得：，

直线CD的解析式为y=x+4

由解得，，

∴D（-6，-2），

同理：lAD：，lBC：，

∴AD∥BC；

（3）存在

①当CP在AC右侧时，满足∠ACP=∠OBC的CP与抛物线只有一个交点C，与题意不符，

故此时不存在；

②当CP在AC左侧时，设CP交x轴于点Q，

AC=，

∵∠ACP=∠OBC，∠CAQ=∠BAC，

∴△ACQ∽△ABC,

∴，可得AQ=，

则AQ：BQ=5:4，

∴=，

，

，

，解得：

此时点P的坐标为（）

③，

为，

过作，交抛物线于 ，

则设：为，把代入得：

所以：为，

， 解得：

P' （-10，4），

则由两点间距离公式得：AP' =，CP' =10，

∵AC2+AP' 2=CP' 2，

∴△AP' C为直角三角形，

∵tan∠ACP' =2，tan∠OCB=2，

∴∠ACP' =∠OCB，

此时点P满足条件，

∵AB∥CP'，

∴S△CBD=2S△CAD，

∴=1，

综上，存在满足条件的点P，当∠ACP=∠OBC时，=；

当∠ACP'=∠OCB时，=1.