Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为 个平方单位？

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，

由题意，得 ，

解得 ，

所以，直线AB的解析式为y=﹣ x+6

（2）解：由AO=6，BO=8得AB=10，

所以AP=t，AQ=10﹣2t，

① 当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以 = ，

解得t= （秒），

②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以 = ，

解得t= （秒）；

∴当t为 秒或 秒时，△APQ与△AOB相似

（3）解：过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，sin∠BAO= = ，

在Rt△AEQ中，QE=AQsin∠BAO=（10﹣2t） =8﹣ t，

S△APQ= APQE= t（8﹣ t），

=﹣ t2+4t= ，

解得t=2（秒）或t=3（秒）．

∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为 个平方单位

【解析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AEQ中，QE=AQsin∠BAO=（10﹣2t） =8﹣ t，再利用三角形积解得t即可．