Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；

④S△DEF＝．其中正确的是结论的个数是（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：①由垂径定理证得∠ADF＝∠AED；②由垂径定理证得DG＝CG；③∠E＝∠ADG，在Rt△ADG中，求tan∠ADG；④先S△ADF，由△AFD∽△ADE，求得S△ADE；

详解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴DG＝CG，

∴弧AD＝弧AC，∠ADF＝∠AED，

∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF∽△AED；

②∵，CF＝2，∴FD＝6，

∴CD＝DF＋CF＝8，∴CG＝DG＝4，

∴FG＝CG－CF＝2；

③Rt△AFG中，AF＝3，FG＝2，由勾股定理得AG＝，

Rt△ADG中，tan∠ADG＝.

∵∠E＝∠ADG，所以tanE.

④Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，由勾股定理得AD＝，

S△ADF＝DF·AG＝×6×.

∵∠ADF＝∠E，∠DAF＝∠EAD，∴△AFD∽△ADE，

∴，即，则S△ADE＝.

∵S△DEF＝S△ADE－S△AFD，∴S△DEF＝，

所以正确的结论是①②④.

故选C.