Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在BC上，且∠MPN=90°．
（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1）．过点P作PE⊥AB于点E，请探索PN与PM之间的数量关系，并说明理由；
（2）当PC=

2

PA，
①点M、N分别在线段 AB、BC上，如图2时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并给予证明．
②当点M、K分别在线段AB、BC的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN、PM之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出

PF

PE

=

PN

PM

=

AB

BC

，然后根据余切函数即可求得．
（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出

PF

PE

=

PN

PM

，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=

3

2

PC，PE=

1

2

PA，即可求得．

解答：
解：（1）PN=

3

PM，
理由：如图1，作PF⊥BC，
∵∠ABC=90°，PE⊥AB，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四边形PFBE是矩形，
∴∠EPF=90°
∴P是AC的中点，
∴PE=

1

2

BC，PF=

1

2

AB，
∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴

PN

PM

=

PF

PE

=

AB

BC

，
∵∠A=30°，
在RT△ABC中，cot30°=

AB

Bc

=

3

，
∴

PN

PM

=

3

，
即PN=

3

PM．


（2）解；①PN=

6

PM，
如图2  在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM
∴

PF

PE

=

PN

PM

，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠C=60°
∴PF=

3

2

PC，PE=

1

2

PA
∴

PN

PM

=

PF

PE

=

3 PC

PA

∵PC=

2

PA 
∴

PN

PM

=

6

，
即：PN=

6

PM


②如图3，成立．

点评：本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用．