Question

10．如图，已知A（-4，0），B（-1，4），将线段AB绕点O，顺时针旋转90°，得到线段A′B′．
（1）若直线A′B′的函数解析式为y₁=mx+n，求直线A′B′的解析式；
（2）抛物线y₂=ax²-19cx+16c经过A′，B′两点，求抛物线的解析式并画出它的图象；
（3）在（2）的条件下，观察图象，当y₁≥y₂时，写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用旋转的性质，借助网格线画出点A′（0，4），点B′（4，1），然后利用待定系数法求出直线A′B′的解析式；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再利用配方法得到抛物线顶点坐标，接着求出抛物线与一次函数的交点坐标，然后运用描点法画出抛物线；
（3）根据函数图象，找出直线A′B′不在抛物线下方所对应的自变量的取值范围即可．

解答 解：（1）如图，点A′的坐标为（0，4），点B′的坐标为（4，1），
把A′（0，4），点B′（4，1）代入y₁=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{4m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
所以直线A′B′的解析式为y₁=-$\frac{3}{4}$x+4；
（2）把A′（0，4），点B′（4，1）代入y₂=ax²-19cx+16c得$\left\{\begin{array}{l}{16c=4}\\{16a-19c×4+16c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y₂=x²-$\frac{19}{4}$x+4，
y₂=x²-$\frac{19}{4}$x+4=（x-$\frac{19}{8}$）²-$\frac{105}{64}$，抛物线的顶点坐标为（$\frac{19}{8}$，-$\frac{105}{64}$），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+4}\\{y={x}^{2}-\frac{19}{4}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以直线A′B′与抛物线相交于点A′（0，4）和点B′（4，1），
如图；
（3）当0≤x≤4时，y₁≥y₂．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了待定系数法求函数解析式和二次函数与不等式（组）．