Question

14．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$．
（1）求证：BE=DE；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根据全等三角形的性质得到OF=OG，证得四边形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
在△ABE与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE；

（2）过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，
根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，
∵AD=BC，
∴AF=OG，
在Rt△AOF与Rt△OCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CG}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG，
∴OF=OG，
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF，
设OF=EF=x，
则AF=FD=x+1，
∴OF²+AF²=OA²，
即：x²+（x+1）²=5²，
解得：x=3，x=-4（舍去），
∴AF=4，
∴AE=7．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的判定和性质是解题的关键．