Question

9．观察下列一组等式的化简．然后解答后面的 问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}-1$；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{1×（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$…
（1）在计算结果中找出规律$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知$\sqrt{11}-\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}-\sqrt{11}$（天“＞”、“＜”或“=”）；
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+$…+$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$）（$\sqrt{2016}+1$）

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据分母有理化，可得答案；
（3）根据分母有理化，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$=$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$=$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$；
（3）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$）（$\sqrt{2016}$+1）
=（$\sqrt{2016}$-1）（$\sqrt{2016}$+1）
=2016-1
=2015．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．